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　いくつかのウェブサイトではBスプライン関数の係数の決定は以下のようになっています。

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/numeanal1/node16.html
http://www5d.biglobe.ne.jp/~stssk/maze/spline.html
http://www.f-kmr.com/numana/spline.pdf#search='B%E3%82%B9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E9%96%A2%E6%95%B0'

　一方で、Bスプライン関数の係数を場合分けによって決定するものが公開されています。（次数が決まれば係数が決まるとか...）
しかし、いったいなぜこのような場合分けと係数になるのでしょうか、素直に未知数を消していけば出てくるのですか？
よくわからないので教えてください。以下は場合分けの方法です。

; ################################################################


	; TYPE MACRO

		#define  NULL  0

	; DATA MACRO

		#const  DIM_MAX  10

		#const  End_Point  DIM_MAX-1

; ################################################################

	; DATA

		count = 0

		// mouse(x, y)
		musx = 0
		musy = 0

; ################################################################

	; CODE

	screen 0, ginfo_dispx, ginfo_dispy, 0, 0, 0
	mes "" + DIM_MAX + " この座標を決めてください"

	repeat

		stick k, NULL, 1 : if k != 256 { wait 1 : continue }


		musx(count) = mousex
		musy(count) = mousey

		count++

		repeat count

			boxf musx(cnt)-5, musy(cnt)-5, musx(cnt)+4, musy(cnt)+4

		loop

		if count == DIM_MAX { break }

	loop

	gosub *MainObjDraw

; ################################################################

	stop

; ################################################################

	; CODE(SUB)

; ----------------------------------------------------------------
*MainObjDraw
; ----------------------------------------------------------------

		div = 0.0002 * DIM_MAX
		t = -1.0
		repeat
			if t >= DIM_MAX : break

			x = 0.0
			y = 0.0
			j = -2
			repeat

				if j > DIM_MAX+1 : break
				k = j

				if j < 0 : k = 0
				if j > End_Point : k = End_Point

				tt = t - j
				if tt < 0.0 : tt = -tt
				if tt < 1.0 {
					a = (3.0 * tt * tt * tt -6.0 * tt * tt + 4.0) / 6.0
				}
				else : if(tt < 2.0) {
					a = tt - 2.0
					a = -a * a * a / 6.0
				}
				else : a = 0.0

				x + a * musx(k)
				y + a * musy(k)

				j++
			loop

			t + div

			pset x, y
		loop

	return

; ################################################################

このスクリプトで描画されるのはBスプライン曲線ではなく
ベジェ曲線なのではないのかと思いますが・・・。

Googleにて「Bスプライン曲線」で検索すると、
方程式の決定について詳しく解説されたサイトが見つかりますよ。


> 次数が決まれば係数が決まる
「n次曲線方程式の係数は(n + 1)個の条件で決定される」という意味でしょうか？
それでしたら、数学で常識とされているようなことなのでそういうものだと覚えてしまうのが早いです。
自信はありませんが、因数分解などを勉強されると理解できるのではないかと思います。

なお余談ですが、

k = j

if j < 0 : k = 0
if j > End_Point : k = End_Point

はlimit関数で簡略化できるはずです。便利な関数なので、ぜひ試してみてください。

naznyarkさん ellerさん返事ありがとうございます。

>このスクリプトで描画されるのはBスプライン曲線ではなく
>ベジェ曲線なのではないのかと思いますが・・・。

　う〜ん、よく分かりません。でもベジェの媒介変数の区間は (0, 1) だったような...。

僕は、Bスプライン関数は↓のようなものだと思いましたが、NO.7569 のプログラムはたったの３通りの場合分けでいろいろな滑らか曲線を表現しているので、ちょっと気になっただけです。
重み関数とか、また違った要素があるのかな。

	x = 0.0

	y = 0.0

	d = 100.0

	repeat 640.0*d

	// 多項式を重ねる

		if 0.0<=x and x<=3.0 {
			y = -2.0*x*x*x + 3.0*x*x + 19.0*x + 26.0
		}
		else : if 3.0<=x and x<=4.0 {
			y = 5.0*x*x*x -60.0*x*x + 208.0*x - 163.0
		}
		else : if 4.0 <= x {
			y = -32.0*x + 157.0
		}

		x + 1.0/d

		pset x*d, y + ginfo_winy/2

	loop

自分でもベジェ曲線、Bスプラインについて調べますので何か分かったら報告します。

↓の【スプライン関数】ってとこ見てたらひらめいたのでサンプって見ました。
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/henbun.htm

	K = 1.5

	m = 1.5

	xx = 200.0, 300.0, 300.0
	yy = 200.0, 300.0, 200.0

	repeat length(xx)
		boxf xx(cnt)-5, yy(cnt)-5, xx(cnt)+4, yy(cnt)+4
	loop

	color 255

	c = 0.0
	x = xx
	y = yy
	repeat 1000

		x = K*(xx(1) - x)*c*c/m/2 + x
		y = K*(yy(1) - y)*c*c/m/2 + y
		c + 0.001
		boxf x-3, y-3, x+2, y+2

	loop

	// 補間値
	ux = k/m * (xx(1) - xx(0))/300
	uy = k/m * (yy(1) - yy(0))/300

	c = 0.0
	x = xx(1)
	y = yy(1)
	repeat 1000

		x = K*(xx(2) - x)*c*c/m/2 + x + ux
		y = K*(yy(2) - y)*c*c/m/2 + y + uy
		c + 0.001
		boxf x-3, y-3, x+2, y+2

	loop

断然、曲関数のほうが見た目が良いのですが、曲がったことに感動・・・。